Transformación de funciones:Reflexión, expansión y aplicaciones

FUNCIÓN EXPONENCIAL  Recordemos las  Leyes de Exponentes:          i)    a x . a y = a x+y                                     ii)    a x /a y = a x-y         iii)    a 0 = 1                                                                       iv)   (a x ) y   = a xy           v)    (a.b) x = a x .b x La funciones exponenciales son expresadas de esta forma:  y = f(x) = a x Donde a siempre será un numero real positivo y de esta dependerá el comportamiento de la gráfica de la función. Si a>1 la gráfica será creciente y si, por el contrario, está en el siguiente intervalo 0 < a <1 , la gráfica será decreciente. 1 De las siguientes gráficas podemos deducir que el  dominio , los valores que tomarán en x,  tenderán siempre el infinito positivo al negativo, por lo que podemos asumir que tomará los reales Dom f =  R Mientras que su rango , los valores que se tomarán en y,  . serán siempre positivos y sin incluir al 0, osea  Ran f =  <0, +

Si tenemos dos o más funciones contenidas una dentro de otra, le llamamos funciones compuestas 1 . Tomando en cuenta  f(x) y g(x): (fog)(x) = f(g(x)) Es la forma que representa una nueva operación entre dos funciones f y g denominada "f compuesta con g" o también composición de f por g. Hemos realizado un archivo pd f para mayor comprensión del tema:   ejercicios resueltos Sin embargo, hay que tener en cuenta que es necesario que:   Ran g  ∩ Dom f  ≠    ø Por ejemplo: Si g(x)= - x 2   y f(x) =  √(x - 1) entonces f(g(x)) no existe 2 . Ya que en este caso dominio de (fog)(x) vendría a conformarse por x que pertenece al Dom g y tiene que cumplirse que estos elementos ya evaluados en g pertenecen a Dom f, en otras palabras se cumple que:  Dom (fog)(x): {x  ∈ Dom g / g(x)  ∈ Dom f } 3 Además, para mayor detalle, aquí les dejamos un vídeo de Benjamin Mendoza, un integrante de nuestro grupo, que resolverá a detalle ejercicios relacionados al tema : Archivo

En este caso, la expansión se realiza de forma horizontal cuando, a diferencia de la vertical,   f(x) = |x| es modificada por una constante dentro de función de esta forma   f(c*x) = |c*x| y en este caso la constante solo puede tomar un valor entre el uno y el cero, de lo contrario vendría a ser una compresión. 1 EXPANSIÓN HORIZONTAL El comportamiento de la gráfica varía con respecto a y, los valores se hacen menores y la gráfica se alarga para los lados. Aquí les dejo un ejercicio como ejemplo para que puedan visualizar mejor el cambio en la gráfica: El canal a recomendar en esta oportunidad es el de "MATEMÁTICA " ,  aquí el contenido está enfocado a la matemática, como lo indica su nombre, y a la resolución ejercicios de todo nivel explicados de paso a paso, este es el link del video relacionado a la expansión horizontal: 1 Fuente : imagen de expansión horizontal

Esta expansión o alargamiento se da cuando la función base f(x) es multiplicada por una constante que obligatoriamente  tiene que ser may or a uno, ya que se de ser menor la transfor m ación vendría a ser una compresión. Esto lo podemos ver en la imagen. 1 EXPANSIÓN                             COMPRESIÓN Como podemos ver en la imagen, los valores en y cambian al multiplicarlos , los positivos se vuelven mayores y los negativos menores,  por lo que la gráfica se expande de forma vertical. Para poder identificar esta transformación debemos tener en cuenta que si nuestra función f(x) = |x+4| la constante a multiplicar vendría a ubicarse de esta forma c*f(x) = c|x+4|. Aquí les dejamos un ejercicio desarrollado y creado por nuestro gru po: En esta oportunidad les comparto el canal de "La Prof Lina M3" , ella sube vídeos con temática matemática a petición de sus subscriptores, aquí les dejo el link de su video  referente al tema de expansión vertical

En este caso la reflexión se da cuando la función tiene esta forma -f(x) o es multiplicada por -1, por ejemplo, si tenemos f(x) = log(x) aplicando la reflexión vertical la función tomaría la siguiente forma -f(x)= -log(x). La reflexión vertical es tomada como un espejo, pero a diferencia de la de horizontal, se hace con respecto al eje x. En la imagen  podemos visualizar qu e lo único que cambian son los valores en y. 1 REFLEXIÓN VERTICAL Aquí les dejamos un ejemplo realizado por nuestro grupo para que tengan una referencia al resolver problemas: En el caso de la reflexión con re specto al origen, es necesario tener conocimientos previos de la reflexión vertical y la horizontal, de esta se habló en el post anterior aquí el link para puedan pasar a verlo: Reflexión horizontal   . Esta reflexión funciona al igual que un espejo, como su nombre lo indica, con respecto al eje de origen. En la imagen a continuación mostraremos como se hace la trasformación: 

Este tipo de reflexión se da cuando el símbolo negativo se encuentra dentro de la función. Por ejemplo tomando f(x)= |x| está reflexión se daría de esta forma f(-x)= |-x|. Se puede interpretar como un espejo con respecto al eje y, además 1 se observa que las funciones que presentan paridad par, es decir, simetría respecto al eje y no varían su gráfica.  Tenemos aquí un ejemplo de reflexión horizontal: 2 Aquí les dejamos un ejercicio realizado por nuestro grupo: Para la mayor comprensión del tema, les presentamos el canal de “ MateMovil ” , este publica videos que se enfocan en temas   relacionados a la matemática y el cálculo.  y este otro de un video que se explaya en referente al tema de reflexiones:  Como un adicional también tenemos preparado un video de parte de Jhon Quispe, un integrante de nuestro grupo, donde explicará un ejercicio en concreto aquí el link:  Archivo con resolución del video de Jhon Quispe: formato pdf 1 F uente

El objetivo del presente blog es poder brindar información a los lectores que naveguen  por nuestras futuras entradas  con respecto al tema de transformaciones de funciones  sea para poder adquirir un nuevo conocimiento o solo para tener mayor comprensión del tema. ¿Qué son las transformaciones de funciones? Las transformaciones son formas de construir gráficas a partir de funciones básicas, entre ellas tenemos la traslación tanto horizontal como vertical, la reflexión, expansión y comprensión, en este blog vamos a tratar, en específico, la reflexión y expansión.                                                             1 REFLEXIÓN               2 EXPANSIÓN A través de las siguientes publicaciones plantearemos diferentes ejercicios, las soluciones a los mismos y la debida teoría para poder entender  el procedimiento implicado, los invitamos a que sean partícipes de este proceso aprendizaje. 1 Fuente : imagen de reflexión   2 Fuente : imagen de expansión  

Saludos, profesor y compañeros. Este blog ha sido creado como parte de la tercera evaluación del curso de Complemento Matemático dictado en la Universidad Privada del Norte y dirigido por el docente Docente Cesar Augusto Reyes Gutierrez. ¿Cuál es el tema a tratar? El tema a tratar en las futuras entradas será el de transformaciones especiales de funciones, específicamente la reflexión y expansión. ¿Quiénes son los autores del blog? ARIANA MAS Estudiante de la Universidad Privada del Norte. Ciclo: 1 er Ciclo Correo: arii.mas98@gmail.com Carrera: Ing. Sistemas BENJAMÍN MENDOZA Estudiante de la Universidad Privada del Norte. Ciclo: 1 er Ciclo Correo: benja45davi@gmail.com Carrera: Ing. Sistemas JHON QUISPE Estudiante de la Universidad Privada del Norte. Ciclo: 1 er Ciclo Correo: qjhonsteven98@gmail.com Carrera: Ing. Sistemas JOSHUA VICTORINO Estudiante de la Universidad Privada del Norte. Ciclo: 1 er Ciclo Correo: joshuavictorino